Kariera klubowa Kamiński jest wychowankiem klubu ze swojego rodzinnego miasta – Aluminium Konin, skąd w 2005 trafił do juniorskiej drużyny Lecha Poznań. W 2009 został włączony do pierwszej drużyny Lecha. Debiut w Ekstraklasie zaliczył 21 listopada 2009 w wygranym meczu przeciwko Ruchowi Chorzów[2]. W debiutanckim sezonie 2009/2010 wystąpił 4 razy na ekstraklasowych boiskach i zdobył z Lechem mistrzostwo Polski. Od sezonu 2011/2012 był podstawowym zawodnikiem poznańskiej drużyny, z którą dwukrotnie sięgał po wicemistrzostwo kraju (sezony 2012/2013 i 2013/2014), a w sezonie 2014/2015 wywalczył kolejne mistrzostwo Polski. W czerwcu 2016 podpisał trzyletni kontrakt z VfB Stuttgart[3]. W pierwszym zespole zadebiutował 30 października 2016 w wygranym 3:1, meczu 2. Bundesligi przeciwko Karlsruher[4]. Swojego pierwszego gola dla Stuttgartu zdobył 5 kwietnia 2017, w doliczonym czasie gry ligowego meczu z TSV 1860 Monachium, zapewniając drużynie remis 1:1[5]. W sezonie 2016/17, wygrał z VfB rozgrywki 2. Bundesligi i tym samym awansował z tym klubem do Bundesligi, natomiast sam wystąpił w 23 spotkaniach, strzelając 1 bramkę[6]. 19 sierpnia 2017, w przegranym 0:2 meczu z Herthą, zadebiutował w Bundeslidze[7].