och
=
b
{\ displaystyle a = b}
är det för alla funktioner
f
{\ displaystyle f}
inträffar:
och
=
b
⟹
f
(
...
.
och
.
...
)
=
f
(
...
.
b
.
...
)
{\ displaystyle a = b \ antyder f (\ dots, a, \ dots) = f (\ dots, b, \ dots)}
Axiomatisering av jämställdhetsbegreppet genererar en hel del axiomer - tre axiomer behövs: manövrerbarhet, transitivitet och symmetri, och framför allt en axiom för varje position i varje förhållande och funktion i algebra. Till exempel om systemet innehåller
f
(
och
.
b
)
{\ displaystyle f (a, b)}
och
g
(
och
.
b
.
c
)
.
{\ displaystyle g (a, b, c),}
att lägga till jämställdhet kräver följande axiomer:
och
=
och
{\ displaystyle a = a}
och
=
b
⟹
b
=
och
{\ displaystyle a = b \ antyder b = a}
och
=
b
∧
b
=
c
⟹
och
=
c
{\ displaystyle a = b \ land b = c \ implicerar a = c}
och
=
b
⟹
f
(
och
.
x
)
=
f
(
b
.
x
)
{\ displaystyle a = b \ antyder f (a, x) = f (b, x)}
och
=
b
⟹
f
(
x
.
och
)
=
f
(
x
.
b
)
{\ displaystyle a = b \ antyder f (x, a) = f (x, b)}
och
=
b
⟹
g
(
och
.
x
.
s
)
=
g
(
b
.
x
.
s
)
{\ displaystyle a = b \ antyder g (a, x, y) = g (b, x, y)}
och
=
b
⟹
g
(
x
.
och
.
s
)
=
g
(
x
.
b
.
s
)
{\ displaystyle a = b \ antyder g (x, a, y) = g (x, b, y)}
och
=
b
⟹
g
(
x
.
s
.
och
)
=
g
(
x
.
s
.
b
)
.
{\ displaystyle a = b \ antyder g (x, y, a) = g (x, y, b).}
Detta är inte effektivt. Därför, även om jämställdhet kan behandlas som ett normalt förhållande, behandlas det vanligtvis speciellt. Exempelvis använder automatiska korrektionssystem för jämlikhet paramodulering tillsammans med (eller istället för) vanlig upplösning.
