Sejam duas retas
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
pertencentes a um plano
A
{\displaystyle A}
. Diz-se que
r
{\displaystyle r}
é paralela a
s
{\displaystyle s}
(
r
{\displaystyle r}
//
s
{\displaystyle s}
) se, e somente se,
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
são coincidentes (
r
{\displaystyle r}
=
s
{\displaystyle s}
) ou se a intersecção de
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
é um conjunto vazio, ou seja, se elas não possuem pontos comuns.
" Se duas retas coplanares e distintas
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
, e uma transversal
t
{\displaystyle t}
, determinam um par de ângulos alternos (ou ângulos correspondentes) congruentes, então
r
{\displaystyle r}
é paralela a
s
{\displaystyle s}
." O recíproco do teorema das retas paralelas, pode ser enunciado como segue:
Sejam
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
retas paralelas e distintas. Se
t
{\displaystyle t}
intercepta ambas, então vale que os ângulos alternos (ou correspondentes) formados pela intercecção são congruentes.Caso as retas estejam no espaço, então para que sejam paralelas, elas devem determinar um único plano e não possuírem ponto comum. Assim, duas retas serão paralelas se elas possuírem mesma direção.
Também conhecido como postulado de Euclides ou postulado das paralelas define que:
"Por um ponto passa uma única reta paralela a uma outra reta dada." Agora, caso
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
forem retas paralelas, bem como as retas
s
{\displaystyle s}
e
t
{\displaystyle t}
forem paralelas, vale que
r
{\displaystyle r}
e
t
{\displaystyle t}
serão paralelas.
No espaço, uma reta e um plano são paralelos se não se intersectam, ou seja, se não possuem pontos em comum.Uma condição suficiente para a existência de retas e planos paralelos é a de que, definidos uma reta
r
{\displaystyle r}
e um plano
π
{\displaystyle \pi }
, com
r
{\displaystyle r}
não contida em
π
{\displaystyle \pi }
, se existir uma outra reta
s
{\displaystyle s}
contida no plano
π
{\displaystyle \pi }
, de modo que
r
{\displaystyle r}
e
s
{\displaystyle s}
sejam paralelas, então a reta
r
{\displaystyle r}
será paralela ao plano
π
{\displaystyle \pi }
. Porém, caso a reta
r
{\displaystyle r}
e o plano
π
{\displaystyle \pi }
forem paralelos, então necessariamente a reta
r
{\displaystyle r}
será paralela a uma reta do plano
π
.
{\displaystyle \pi.}
No espaço, há duas possibilidades para que dois planos sejam paralelos:
se eles não se intersectam, ou seja, não possuem nenhum ponto em comum;
se são coincidentes (iguais).
