Kąt wpisany w okrąg – kąt, którego wierzchołek leży na okręgu, a ramiona zawierają cięciwy wychodzące z wierzchołka.
Np. kąt PQR pokazany na rysunku obok jest wpisany w okrąg. Mówimy, że kąt PQR jest oparty na łuku PR. Jeżeli kąt wpisany oparty jest na półokręgu, to mówimy również, że jest oparty na średnicy.
Z pojęciem kąta wpisanego związane jest pojęcie kąta środkowego.
Charakterystyka kąta wpisanego w okrąg
Twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku
Miara kąta wpisanego jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
Dowód
Niech kąt wpisany ma miarę β, kąt środkowy oparty na tym samym łuku ma miarę α
Poprowadźmy z wierzchołka kąta wpisanego promień (na ilustracji czerwony). Podzieli on ten kąt na dwa kąty o miarach
β
=
β
1
+
β
2
{\displaystyle \beta =\beta _{1}+\beta _{2}}
i zarazem wyznaczy on dwa trójkąty równoramienne o kątach wierzchołkowych odpowiednio
γ
1
,
γ
2
.
{\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}.}
Dla obu tych równoramiennych trójkątów dostajemy zależności:
2
⋅
β
1
+
γ
1
=
π
(
1
)
{\displaystyle 2\cdot \beta _{1}+\gamma _{1}=\pi \quad (1)}
2
⋅
β
2
+
γ
2
=
π
(
2
)
{\displaystyle 2\cdot \beta _{2}+\gamma _{2}=\pi \quad (2)}
dodając stronami (1) i (2) oraz porządkując otrzymamy:
2
⋅
(
β
1
+
β
2
)
=
2
π
−
(
γ
1
+
γ
2
)
{\displaystyle 2\cdot (\beta _{1}+\beta _{2})=2\pi -(\gamma _{1}+\gamma _{2})}
Ponieważ
2
π
−
(
γ
1
+
γ
2
)
=
α
{\displaystyle 2\pi -(\gamma _{1}+\gamma _{2})=\alpha }
więc
2
β
=
α
{\displaystyle 2\beta =\alpha }
Uwaga
Gdyby kąt środkowy nie mieścił się w odpowiadającym mu kącie wpisanym, to równości (1) i (2) należy odjąć zamiast dodać.
Gdyby wierzchołek kąta środkowego leżał na jednym z ramion kąta wpisanego to spośród równości (1) i (2) rozpatrujemy tylko jedną.
