∀
(
x
,
y
)
∈
Ω
×
Ω
r
o
t
u
(
x
)
≠
0
,
r
o
t
u
(
x
)
×
r
o
t
u
(
y
)
=
0
{\displaystyle \;\forall _{(x,y)\in \ Omega \times \ Omega }\;{\rm {rot}}\,\mathbf {u(x)} \neq 0\;,\quad {\rm {rot}}\,\mathbf {u(x)} \,\times \,{\rm {rot}}\,\mathbf {u(y)} =0\;\;}
gdzie
u
{\displaystyle \;\mathbf {u} \;}
- wektor prędkości płynu.
x
,
y
{\displaystyle \;x,y\;}
- dowolna para punktów w obszarze wiru
Ω
{\displaystyle \;\ Omega \;}
Równanie powyższe opisuje wir płaski. Istnieją ponadto przestrzenne struktury wirowe, np. wir toroidalny tworzący się w obszarze krótkiego, ostrokrawędzistego rozszerzenia rury.
W obszarze wiru wektor prędkości kątowej płynu
ω
{\displaystyle \;\mathbf {\omega } \;}
jest różny od zera, prostopadły do płaszczyzny wiru i wyraża się on wzorem:
ω
=
1
2
r
o
t
u
{\displaystyle \;\mathbf {\omega } ={\frac {1}{2}}\,{\rm {rot}}\,\mathbf {u} \;}
Przykłady wirów:
płaski wir punktowy w cieczy nielepkiej:
u
(
r
)
=
Γ
2
π
r
e
ϕ
{\displaystyle \mathbf {u} (r)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}\mathbf {e} _{\phi }}
gdzie
Γ
{\displaystyle \;\Gamma \;}
- intensywność wiru,
e
ϕ
{\displaystyle \;\mathbf {e} _{\phi }\;}
- wersor rotacyjny biegunowego układu współrzędnych;
wir Lamba, (początkowo punktowy wir w cieczy lepkiej)
u
(
r
)
=
Γ
2
π
r
(
1
−
e
−
r
2
/
4
ν
t
)
e
ϕ
{\displaystyle \mathbf {u} (r)={\frac {\Gamma }{2\pi r}}(1-e^{-r^{2}/4\nu t})\mathbf {e} _{\phi }}
W rzeczywistych wirach występujących w przyrodzie prędkość kątowa (a zatem i rotacja prędkości) nie jest na ogół stała, lecz jej wartość zmniejsza się stopniowo wraz z odległością od centrum wiru.
Linie prądu w obszarze wiru płaskiego tworzą krzywe zamknięte. W warunkach przepływu stacjonarnego poruszają się po nich cząstki płynu.
Wiry występują powszechnie w przepływach płynów rzeczywistych.
