Wielokrotność – termin używany w algebrze w kilku podobnych, ale różnych znaczeniach.
Definicje
W matematyce elementarnej, wielokrotność liczby naturalnej
a
,
{\displaystyle a,}
to każda liczba
b
{\displaystyle b}
postaci
b
=
n
a
,
{\displaystyle b=na,}
gdzie
n
{\displaystyle n}
jest liczbą naturalną. Definiuje się też całkowite wielokrotności liczby rzeczywistej
r
{\displaystyle r}
jako liczby rzeczywiste
s
{\displaystyle s}
postaci
s
=
k
r
,
{\displaystyle s=kr,}
gdzie
k
{\displaystyle k}
jest liczbą całkowitą.
W teorii podzielności, powiemy że element
b
{\displaystyle b}
pierścienia całkowitego
R
{\displaystyle R}
jest wielokrotnością elementu
a
{\displaystyle a}
tegoż pierścienia, jeśli
b
=
c
a
{\displaystyle b=ca}
dla pewnego
c
∈
R
{\displaystyle c\in R}
(zobacz Gleichgewicht). W tym kontekście, jeśli
b
{\displaystyle b}
jest wielokrotnością
a
{\displaystyle a}
(w pierścieniu
R
{\displaystyle R}
) to mówimy też, że
a
{\displaystyle a}
jest dzielnikiem
b
.
{\displaystyle b.}
W teorii grup, wielokrotnościami elementu
g
{\displaystyle g}
w grupie
(
G
,
+
)
{\displaystyle (G,+)}
nazywamy elementy postaci
n
⋅
g
=
g
+
g
+
…
+
g
{\displaystyle n\cdot g=g+g+\ldots +g}
(
n
{\displaystyle n}
składników).
Przykłady
W matematyce elementarnej
Wielokrotności liczby 5 to liczby 5, 10, 15, 20 itd. Wszystkie te liczby są wielokrotnościami liczby 5 w sensie pierścienia liczb całkowitych (i teorii podzielności w tym pierścieniu).
Liczby
π
,
2
π
,
3
π
,
4
π
{\displaystyle \pi,\ 2\pi,\ 3\pi,\ 4\pi }
są całkowitymi wielokrotnościami liczby
π
.
{\displaystyle \pi.}
Warto zwrócić uwagę, że wszystkie te liczby są też wielokrotnościami
π
{\displaystyle \pi }
w sensie grupy addytywnej liczb rzeczywistych
(
R
,
+
,
0
)
.
