Powierzchnia – zbiór punktów ( miejsce geometryczne) o tej własności, iż można wokół każdego jej punktu zbudować (niewielką) sferę, która w przecięciu z tym zbiorem daje jedynie obiekty jednowymiarowe (krzywe). Jest to trójwymiarowy odpowiednik pojęcia krzywej. Powierzchnia jest także potocznym określeniem pola powierzchni.
Definicja formalna
Powierzchnia to continuum o wymiarze 2, tj. takie continuum, iż każdy jego punkt posiada pewne otoczenie, którego brzeg nie zawiera żadnego continuum o wymiarze 2 lub wyższym jednak zawiera continuum o wymiarze 1.
Powierzchnia może w szczególności rozgałęziać się.
Klasyfikacja powierzchni w topologii algebraicznej
Zwarte domknięte (bez brzegu) powierzchnie (czyli takie dla których otoczenie każdego punktu jest homeomorficzne z
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
) można podzielić na klasy równoważności zgodnie z relacją równoważności zadaną przez homeomorfizm. Twierdzenie o klasyfikacji powierzchni mówi wtedy że takich klas równoważności jest przeliczalnie wiele i każda z nich ma reprezentanta jednej z 3 postaci:
Sfrerę
S
2
{\displaystyle S^{2}}
Sumę spójną (wzdłuż
S
1
{\displaystyle S^{1}}
) g torusów dla
g
⩾
1
{\displaystyle g\geqslant 1}
Sumę spójną (wzdłuż
S
1
{\displaystyle S^{1}}
) k kopii
R
P
2
{\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}
dla
n
⩾
1
{\displaystyle n\geqslant 1}
Pozwala to na klasyfikacje powierzchni na podstawie tylko dwóch informacji: genusu oraz czy przestrzeń jest orientowalna. Dodatkowo przestrzenie orientowalne maja nietrywialna najwyższą grupę homologii
