W matematyce, szczególnie w geometrii algebraicznej, analizie złożonej i algebraicznej teorii liczb, abelowa odmiana jest projekcyjną odmianą algebraiczną, która jest również grupą algebraiczną, tj. Ma prawo grupowe, które można zdefiniować za pomocą regularnych funkcji. Odmiany abelowe są jednocześnie jednym z najczęściej badanych obiektów w geometrii algebraicznej i niezbędnymi narzędziami do wielu badań na inne tematy z geometrii algebraicznej i teorii liczb.
Odmiana abelowa może być zdefiniowana przez równania mające współczynniki w dowolnym polu; Odmiana jest wtedy określana jako zdefiniowana na tym polu. Historycznie pierwsze badane odmiany abelowe były tymi, które zdefiniowano w dziedzinie liczb zespolonych. Takie abelowe odmiany okazują się dokładnie tymi złożonymi toriami, które można osadzić w złożonej przestrzeni projekcyjnej. Abelowe odmiany zdefiniowane na algebraicznych polach liczb są szczególnym przypadkiem, który jest ważny także z punktu widzenia teorii liczb. Techniki lokalizacyjne w naturalny sposób prowadzą od odmian abelowych zdefiniowanych na polach liczbowych do zdefiniowanych na skończonych polach i różnych lokalnych polach. Ponieważ pole liczbowe jest polem części domeny Dedekind, dla każdej niezerowej liczby pierwszej domeny Dedekind, istnieje mapa z domeny Dedekind do ilorazu domeny Dedekind przez prime, która jest skończonym polem dla wszystkich skończonych liczb pierwszych.. To wywołuje mapę z pola frakcji do dowolnego takiego skończonego pola. Biorąc pod uwagę krzywą z równaniem zdefiniowaną w polu liczbowym, możemy zastosować tę mapę do współczynników, aby uzyskać krzywą zdefiniowaną w pewnym skończonym polu, gdzie wybory skończonego pola odpowiadają skończonym liczbom pierwszeństwa pola liczbowego.
