Jeżeli dla równania różniczkowego (zwyczajnego lub cząstkowego) stawiamy warunek brzegowy Dirichleta (na całym brzegu), to mówimy o zagadnieniu (problemie) Dirichleta.
Dla równania różniczkowego zwyczajnego II rzędu:
y
″
=
f
(
x
,
y
,
y
′
)
,
{\displaystyle y''=f(x,y,y'),}
gdzie niewiadoma funkcja
y
(
x
)
{\displaystyle y(x)}
jest określona na dziedzinie
[
a
,
b
]
,
{\displaystyle [a,\,b],}
(formalnie:
y
∈
C
2
(
[
a
,
b
]
)
{\displaystyle y\in C^{2}([a,\,b])}
), warunek brzegowy Dirichleta ma postać
y
(
a
)
=
y
a
,
y
(
b
)
=
y
b
,
{\displaystyle y(a)=y_{a},\ y(b)=y_{b},}
gdzie
y
a
{\displaystyle y_{a}}
oraz
y
b
{\displaystyle y_{b}}
są danymi liczbami.
Typowym przykładem jest zagadnienie Dirichleta dla równania Laplace’a. Dany jest obszar
Ω
⊂
R
n
.
{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}.}
Szukamy rozwiązania
u
:
Ω
¯
→
R
,
{\displaystyle u:{\bar {\Omega }}\to \mathbb {R},}
które jest ciągłe w domknięciu
Ω
¯
,
{\displaystyle {\bar {\Omega }},}
klasy
C
2
{\displaystyle C^{2}}
w
Ω
,
{\displaystyle \Omega,}
spełnia równanie
Δ
u
=
0
,
{\displaystyle \Delta u=0,}
gdzie
Δ
{\displaystyle \Delta }
oznacza operator Laplace’a (laplsjan) oraz warunek brzegowy
u
(
x
)
=
f
(
x
)
∀
x
∈
∂
Ω
,
{\displaystyle u(x)=f(x)\quad \forall x\in \partial \Omega,}
gdzie
f
{\displaystyle f}
jest daną funkcją określoną na brzegu,
f
:
∂
Ω
→
R
.
{\displaystyle f:\partial \Omega \to \mathbb {R}.}
Zazwyczaj obie relacje (równanie i warunek brzegowy) zapisuje się w standardowej notacji matematycznej w jednym miejscu, często dodając klamry, aby podkreślić, że obie zależności muszą być spełnione:
{
Δ
u
=
0
na
Ω
,
u
=
f
w
∂
Ω
.
{\displaystyle {\begin{cases}\Delta u=0&\quad {\text{na}}\;\Omega,\\u=f&\quad {\text{w}}\;\partial \Omega.\end{cases}}}
Warunki brzegowe pełnią ważną rolę w opisie zjawisk fizycznych.
