En géométrie analytique, on représente les surfaces, c' est -à-dire les ensembles de points sur lequel il est localement possible de se repérer à l'aide de deux coordonnées réelles, par des relations entre les coordonnées de leurs points, qu'on appelle équations de la surface
ou par des représentations paramétriques.
Cet article étudie les propriétés des surfaces que cette approche (appelée souvent extrinsèque) permet de décrire. Pour des résultats plus approfondis, voir Géométrie différentielle des surfaces.
Propriétés affines
On suppose dans tout cet article qu'on a muni l' espace d'un repère, dans lequel sont exprimées toutes les coordonnées.
Représentation paramétrique
Une nappe paramétrée est la donnée de trois fonctions de deux variables (définies sur un disque ouvert, un rectangle ou
plus généralement un ouvert de
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
)
x
=
f
(
u
,
v
)
,
y
=
g
(
u
,
v
)
z
=
h
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=f(u,v),\,y=g(u,v)\,z=h(u,v)}
.qui représentent les coordonnées d'un point M par rapport à un repère
On a envie de dire qu'une surface est l' image d'une nappe paramétrée. Mais quelques précautions sont nécessaires : si on prend f(u,v)=u, g(u,v)=h(u,v)=0 on a une nappe paramétrée dont l' image est une droite.
Dans le cas où
F
→
=
(
f
,
g
,
h
)
{\displaystyle {\overrightarrow {F}}=(f,g,h)}
est injective, tout point M de S admet un couple unique (u,v) pour antécédent.
Un cas particulier important de nappe paramétrée est celui du graphe d'une fonction de deux variables :
lorsque
x
=
u
,
y
=
v
,
z
=
h
(
u
,
v
)
{\displaystyle x=u,y=v,z=h(u,v)}
. On obtient alors une surface représentée par l’ équation cartésienne
z
=
h
(
x
,
y
)
{\displaystyle z=h(x,y)}
.
Équation d'une surface
Étant donnée une fonction H de trois variables, l'ensemble des points M dont les coordonnées, dans le repère que l'on s' est donné
