Επιφάνεια - ένα σύνολο σημείων (γεωμετρικό μέρος) με την ιδιότητα που μπορεί κανείς να δημιουργήσει μια (μικρή) σφαίρα γύρω από κάθε σημείο, το οποίο, όταν τέμνεται με αυτό το σύνολο, δίνει μόνο μονοδιάστατα αντικείμενα (καμπύλες). Αυτό είναι το τρισδιάστατο ισοδύναμο της έννοιας μιας καμπύλης. Το Surface είναι επίσης ένας συνηθισμένος όρος για την επιφάνεια.
Επίσημος ορισμός
Μια επιφάνεια είναι ένα συνεχές με διάσταση 2, δηλαδή ένα τέτοιο συνεχές που κάθε ένα από τα σημεία του έχει ένα ορισμένο περιβάλλοντα μέρος του οποίου η άκρη δεν περιέχει κανένα συνεχές με διάσταση 2 ή μεγαλύτερη, αλλά περιέχει ένα συνεχές με διάσταση 1.
Η επιφάνεια μπορεί ειδικότερα να διακλαδίζεται.
Ταξινόμηση επιφάνειας σε αλγεβρική τοπολογία
Συμπαγείς κλειστές (χωρίς άκρη) επιφάνειες (δηλαδή εκείνες για τις οποίες το περιβάλλον κάθε σημείου είναι ομοιομορφικό με
Ρ
2
{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}
) μπορεί να χωριστεί σε τάξεις ισοδυναμίας σύμφωνα με τη σχέση ισοδυναμίας που δίνεται από τον ομοιομορφισμό. Το θεώρημα για την ταξινόμηση των επιφανειών λέει ότι υπάρχουν πάρα πολλές τέτοιες τάξεις ισοδυναμίας και καθένας από αυτούς έχει έναν εκπρόσωπο μιας από τις τρεις μορφές:
Sfrerę
μικρό
2
{\ displaystyle S ^ {2}}
Ένα συνεκτικό ποσό (μαζί
μικρό
1
{\ displaystyle S ^ {1}}
g torus για
σολ
⩾
1
{\ displaystyle g \ geqslant 1}
Ένα συνεκτικό ποσό (μαζί
μικρό
1
{\ displaystyle S ^ {1}}
) k αντίγραφο
Ρ
Π
2
{\ displaystyle \ mathbb {R} P ^ {2}}
Για
ν
⩾
1
{\ displaystyle n \ geqslant 1}
Αυτό επιτρέπει την ταξινόμηση των επιφανειών με βάση μόνο δύο πληροφορίες: γένος και εάν ο χώρος είναι προσανατολισμένος. Επιπλέον, οι προσανατολισμένοι χώροι έχουν τη μη ασήμαντη ομάδα υψηλότερης ομολογίας
