superfície - escolha o quebra-cabeça para resolver

Uma superfície é uma variedade de dimensão 2. Qualquer superfície é de um dos tipos seguintes: uma esfera à qual foram coladas g {\displaystyle g} ansas; uma esfera à qual foram colados g {\displaystyle g} planos projectivos.Ao número g chama-se o género da superfície. No primeiro caso, a superfície é orientável e no segundo a superfície é não orientável. A característica de Euler da superfície é dada no primeiro caso por χ = 2 − 2 g {\displaystyle \chi =2-2g} e no segundo por χ = 2 − g . {\displaystyle \chi =2-g.} Se z = f(x,y), e se x e y são variáveis independentes, então a plotagem cartesiana de x contra y contra z irá resultar em uma superfície aberta, que se extende por todo o domínio e imagem da função. A área de um trecho dessa superfície que esteja contido num retângulo dado por x1, x2, y1 e y2 pode ser determinada através do seguinte método: a cada ponto (x, y, f(x,y)) da superfície, pode ser associado um vetor r = . Se a superfície for cortada por infinitos planos de x constante e y constante, infinitamente próximos uns dos outros, então cada pedaço infinitesimal de superfície poderá ser muito bem aproximado por um paralelogramo de lados infinitesimais. Os quatro cantos desse paralelogramo podem ser associados aos vetores r1 = , r2 = , r3 = e r4 = . Ora, é bem sabido que se os lados de um paralelogramo são descritos por vetores, então o produto vetorial deles terá módulo igual à área do paralelogramo. Os vetores associáveis aos lados do paralelogramo são as diferenças entre os vetores associáveis a seus vértices, ou seja, teremos lados L1 = r2 - r1 e L2 = r3 - r1; assim sendo: L 1 =< d x , 0 , f ( x + d x , y ) − f ( x , y ) > {\displaystyle L1=} L 2 =< 0 , d y , f ( x , y + d y ) − f ( x , y ) > {\displaystyle L2=<0,dy,f(x,y+dy)-f(x,y)>} Ou, alternativamente, L 1 =< 1 , 0 , f ( x + d x , y ) − f ( x , y ) d x > d x {\displaystyle L1=<1,0,{f(x+dx,y)-f(x,y) \over dx}>dx} L 2 =< 0 , 1 , f ( x , y + d y ) − f ( x , y ) d y > d y {\displaystyle L2=<0,1,{f(x,y+dy)-f(x,y) \over dy}>dy} Mas isso recai na definição de derivada parcial, tal que L 1 =< 1 , 0 , f x > d x {\displaystyle L1=<1,0,f_{x}>dx} L 2 =< 0 , 1 , f y > d y {\displaystyle L2=<0,1,f_{y}>dy} Como já foi dito, a área do paralelogramo infinitesimal será dada pelo módulo do produto vetorial de L1 por L2: a = | | L 1 x L 2 | | = | | < 1 , 0 , f x > d x × < 0 , 1 , f y > d y | | {\displaystyle a=||L1xL2||=||<1,0,f_{x}>dx\times <0,1,f_{y}>dy||} a = | | < − f x , − f y , 1 > | | d x d y {\displaystyle a=||<-f_{x},-f_{y},1>||dxdy} a = f x 2 + f y 2 + 1 d x d y {\displaystyle a={\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy} E a área de toda a porção da superfície que está contida nesse intervalo nada mais será que o somatório de todas as áreas infinitesimais: A = ∑ a = ∫ y 1 y 2 ∫ x 1 x 2 f x 2 + f y 2 + 1 d x d y {\displaystyle A=\sum a=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {f_{x}^{2}+f_{y}^{2}+1}}dxdy} Alternativamente, uma superfície pode ser descrita plotando-se não uma, mas três funções de duas variáveis independentes cada umas contra as outras, igualando-se os eixos x, y e z cada um a uma função.