Zawieszeniem
S
X
{\displaystyle SX}
przestrzeni topologicznej
X
{\displaystyle X}
jest przestrzeń ilorazowa powstała przez podzielenie iloczynu
X
×
I
{\displaystyle X\times I}
tej przestrzeni przez przedział jednostkowy
I
=
[
0
;
1
]
{\displaystyle I=[0;1]}
przez relację równoważności
∼
{\displaystyle \sim }
:
X
×
I
/
∼
,
{\displaystyle X\times I/\sim,}
która ściąga punkty każdej z „podstaw”
X
×
{
0
}
{\displaystyle X\times \{0\}}
i
X
×
{
1
}
{\displaystyle X\times \{1\}}
do punktu, czyli dla
(
x
,
t
)
,
(
x
′
,
t
′
)
∈
X
×
I
{\displaystyle (x,t),(x',t')\in X\times I}
(
x
,
t
)
∼
(
x
′
,
t
′
)
⇔
(
x
,
t
)
=
(
x
′
,
t
′
)
∨
t
=
t
′
=
0
∨
t
=
t
′
=
1.
{\displaystyle (x,t)\sim (x',t')\Leftrightarrow (x,t)=(x',t')\,\vee \,t=t'=0\vee t=t'=1.}
Nieco mniej formalnie można to zapisać następująco:
S
X
=
(
X
×
I
)
/
{
(
x
1
,
0
)
∼
(
x
2
,
0
)
i
(
x
1
,
1
)
∼
(
x
2
,
1
)
dla dowolnych
x
1
,
x
2
∈
X
}
.
{\displaystyle SX=(X\times I)/\{(x_{1},0)\!\sim \!(x_{2},0)\;\;{\mbox{ i }}(x_{1},1)\!\sim \!(x_{2},1){\mbox{ dla dowolnych }}x_{1},x_{2}\in X\}.}
Geometrycznie zawieszenie jest wielościanem, który można uzyskać z iloczynu
K
×
I
{\displaystyle K\times I}
poprzez ściągnięcie do punktu każdej z podstaw:
(
x
,
0
)
∼
(
x
′
,
0
)
{\displaystyle (x,0)\sim (x',0)}
i
(
x
,
1
)
∼
(
x
′
,
1
)
{\displaystyle (x,1)\sim (x',1)}
dla dowolnych
x
,
x
′
∈
X
{\displaystyle x,x'\in X}
.
Stożkiem przekształcenia łańcuchowego
f
∙
:
K
∙
→
L
∙
{\displaystyle f_{\bullet }:K_{\bullet }\rightarrow L_{\bullet }}
nazywamy kompleks łańcuchowy
C
f
∙
,
{\displaystyle Cf_{\bullet },}
w którym:
(
C
f
)
n
=
L
n
⊕
K
n
−
1
,
{\displaystyle (Cf)_{n}=L_{n}\oplus K_{n-1},}
∂
C
f
(
y
,
x
)
=
(
∂
L
y
+
f
x
,
−
∂
K
x
)
,
{\displaystyle \partial ^{Cf}(y,x)=(\partial ^{L}y+fx,-\partial ^{K}x),}
gdzie
(
y
,
x
)
∈
C
f
.
{\displaystyle (y,x)\in Cf.}
Jeśli
L
∙
=
0
,
{\displaystyle L_{\bullet }=0,}
to kompleks
C
f
∙
{\displaystyle Cf_{\bullet }}
jest nazywany zawieszeniem i oznaczany przez
K
∙
+
.
{\displaystyle K_{\bullet }^{+}.}
W kompleksie tym:
(
K
+
)
n
=
K
n
−
1
,
{\displaystyle (K^{+})_{n}=K_{n-1},}
∂
K
+
=
−
∂
K
{\displaystyle \partial ^{K^{+}}=-\partial ^{K}}
.
funktory sprzężone
stożek (topologia)
topologia zwarto-otwarta
Roman Duda : Wprowadzenie do topologii. Cz. I. Topologia ogólna. Warszawa : Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1986, seria: Biblioteka Matematyczna.
