hanyatlás - online rejtvények

Az X valószínűségi változó normális eloszlást követ – vagy rövidebben: normális eloszlású – pontosan akkor, ha sűrűségfüggvénye

f

(

x

)

=

1

σ

2

π

⋅

e

−

(

x

−

m

)

2

2

σ

2

,

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(x-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}

ahol a két paraméter, m és σ ∈ R, valamint σ > 0. A normális eloszlást szokták Gauss-eloszlásnak vagy néha normál eloszlásnak is nevezni.

Azt, hogy az X valószínűségi változó normális eloszlást követ, a következő módon szoktuk jelölni:

X

∼

N

(

m

,

σ

2

)

.

{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(m,\sigma ^{2}).}

Speciálisan, ha X ~ N(0, 1), akkor X-et standard normális eloszlásúnak (vagy sztenderd normális eloszlásúnak) nevezzük.

A fenti sűrűségfüggvény grafikonját alakja miatt szokás haranggörbének nevezni.

A normális eloszlást jellemző függvények

Eloszlásfüggvénye

F

(

x

)

=

∫

−

∞

x

1

σ

2

π

⋅

e

−

(

t

−

m

)

2

2

σ

2

d

t

(

=

∫

−

∞

x

f

(

t

)

d

t

)

{\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\cdot e^{-{\frac {(t-m)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dt\left(=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)dt\right)}

Karakterisztikus függvénye

φ

(

t

)

=

e

i

t

m

−

σ

2

t

2

2

{\displaystyle \varphi (t)=e^{itm-{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}}}

Sűrűségfüggvényének tulajdonságai

Maximumhelye m (de nem emiatt lesz az eloszlás várható értéke is m, az egybeesés a szimmetriának köszönhető).

Szimmetrikus a maximumhelyére vonatkozóan.

(

∀

x

∈

R

)

f

(

x

)

>

0

{\displaystyle (\forall x\in \mathbb {R} )f(x)>0}

lim

x

→

−

∞

f

(

x

)

=

0

{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }f(x)=0}

lim

x

→

∞

f

(

x

)

=

0

{\displaystyle \lim _{x\to \infty }f(x)=0}

∫

−

∞

∞

f

(

x

)

d

x

=

1

{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}

Folytonos függvény.

A normális eloszlást jellemző számok

Várható értéke

E

(

X

)

=

m

{\displaystyle \mathbf {E} (X)=m}

Szórása

D

(

X

)

=

σ

{\displaystyle \mathbf {D} (X)=\sigma }

Momentumai

E

(

X

p

)

=

{

0

ha

p

páratlan,

σ

p

(

p

−

1

)

!

!