belép - online rejtvények

A kerületi és középponti szögek tétele egy geometriai tétel, mely kimondja, hogy adott körben adott ívhez tartozó kerületi szög mindig fele az ívhez tartozó középponti szögnek.

Más megfogalmazásban: Adott körben adott ívhez tartozó középponti szög mindig kétszerese az ívhez tartozó kerületi szögnek. A tételből következményként adódik a Thalész-tétel.

Bizonyítása

A tételt hat alesetre bontva bizonyítjuk.

I. eset

A középponti szög egyik szára illeszkedik a – nem érintő szárú – kerületi szög egyik szárára.

Legyen az adott kerületi szög a továbbiakban

α

{\displaystyle \alpha }

, a középponti szög pedig

ω

{\displaystyle \omega }

.

Az ábrán látható

B

C

O

{\displaystyle BCO}

háromszög egyenlő szárú, mert

O

C

=

O

B

=

r

{\displaystyle OC=OB=r}

, ezért

C

{\displaystyle C}

-nél és

B

{\displaystyle B}

-nél lévő szöge egyaránt

α

{\displaystyle \alpha }

. Mivel

ω

{\displaystyle \omega }

ennek a háromszögnek külső szöge, egyenlő a két másik csúcsnál lévő belső szög összegével, azaz

ω

=

2

α

{\displaystyle \omega =2\alpha }

.

II. eset

A középponti szög a – nem érintő szárú – kerületi szög szögtartományába esik, nincs közös száruk.

Vegyük fel a

C

O

{\displaystyle CO}

egyenest az ábra szerint, melynek a körrel való (nem

C

{\displaystyle C}

) metszéspontja legyen

D

{\displaystyle D}

.