En geometría, un ángulo inscrito es el ángulo convexo que tiene su vértice en una circunferencia, las semirrectas que constituyen sus lados son secantes o cuerdas de la misma.
Propiedades
Mientras que un ángulo central tiene una amplitud
θ
{\displaystyle \theta }
igual a la del arco que abarca, la del ángulo inscrito es la mitad de la porción de circunferencia en su interior,
θ
/
2
{\displaystyle \theta /2}
.
Entre otros resultados, esta propiedad permite demostrar que los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios, y que cuando dos cuerdas
a
{\displaystyle a}
,
b
{\displaystyle b}
se intersecan en el interior del círculo, el producto de la longitud de sus segmentos es el mismo
a
⋅
a
2
=
b
⋅
b
2
{\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}=b_{1}\cdot b_{2}}
.
Demostración
Para entender la prueba, es útil dibujar un diagrama como los de las figuras.
Ángulos inscritos donde una cuerda es un diámetro
Sea
o
{\displaystyle o}
el centro de una circunferencia. Además, consideremos
u
{\displaystyle u}
y
v
{\displaystyle v}
dos puntos en la circunferencia, y
w
{\displaystyle w}
el otro extremo de la cuerda que pasa por
u
{\displaystyle u}
y
o
{\displaystyle o}
.
θ
{\displaystyle \theta }
es la amplitud del arco comprendido entre las secantes
u
v
¯
{\displaystyle {\bar {uv}}}
y
u
w
¯
{\displaystyle {\bar {uw}}}
, y
α
{\displaystyle \alpha }
su ángulo inscrito.
∠
w
o
v
{\displaystyle \angle wov}
, también tiene amplitud
θ
{\displaystyle \theta }
y es suplementario de
∠
v
o
u
=
β
{\displaystyle \angle vou=\beta }
. Por lo tanto
θ
+
β
=
180
{\displaystyle \theta +\beta =180}
°.
Como el triángulo
△
u
v
o
{\displaystyle \triangle uvo}
tiene dos lados con longitud igual al radio (
u
o
¯
{\displaystyle {\bar {uo}}}
y
v
o
¯
{\displaystyle {\bar {vo}}}
), es isósceles, por lo tanto
∠
u
v
o
=
α
{\displaystyle \angle uvo=\alpha }
.
