Curva - rompecabezas en línea

En la matemática (inicialmente estudiado en la geometría elemental y, en forma más rigurosa, en la geometría diferencial), la curva (o línea curva ) es una línea continua de una dimensión, que varía de dirección paulatinamente. Ejemplos sencillos de curvas cerradas simples son la elipse o la circunferencia o el óvalo, el cicloide; ejemplos de curvas abiertas, la parábola, la hipérbola y la catenaria y una infinidad de curvas estudiadas en la geometría analítica plana. La recta asume el caso límite de una circunferencia de radio de curvatura infinito y de curvatura 0; además, una recta es la imagen homeomorfa de un intervalo abierto.​ Todas las curvas tienen dimensión topológica igual a 1. La noción curva, conjuntamente con la de superficie, es uno de los objetos primordiales de la geometría diferencial, ciertamente con profusa aplicación de las herramientas del cálculo diferencial.​

Historia y definiciones

Camille Jordan (1838-1922) propuso una teoría sobre las curvas basada en la definición de una curva en términos de puntos variables (ver teorema de la curva de Jordan). En geometría, una curva en el n- espacio euclidiano es un conjunto

C

⊂

R

n

{\displaystyle {\mathcal {C}}\subset \mathbb {R} ^{n}}

que es la imagen de un intervalo Ι abierto bajo una aplicación continua

x

:

I

→

R

n

{\displaystyle \mathbf {x} \colon \mathrm {I} \to \mathbb {R} ^{n}}

, i.e:

C

=

{

x

(

t

)

∈

R

n

:

t

∈

I

}

{\displaystyle {\mathcal {C}}=\{\mathbf {x} (t)\in \mathbb {R} ^{n}\colon t\in \mathrm {I} \}}

donde suele decirse que (

x

,

I

{\displaystyle \mathbf {x},\mathrm {I} }

) es una representación paramétrica o parametrización de

C

{\displaystyle {\mathcal {C}}}

.

Curva, en el plano o en el espacio tridimensional, es la imagen de un camino γ, que se considera con derivada continua a trozos en el intervalo de definición.​

Métodos de expresion de una curva plana

En coordenadas cartesianasEn forma implícita...

F

(

x

,

y

)

=

0

{\displaystyle F(x,y)=0}

Ejemplo

x

2

+

y

2

=

e

x

y

{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=e^{xy}}

En forma explícita....

y

=

f

(

x

)

{\displaystyle y=f(x)}

Ejemplo

y

=

3

x

2

+

5

x

−

7

x

2

{\displaystyle y={\frac {3x^{2}+5x-7}{x^{2}}}}

función racional.

En forma paramétrica...

x

=

x

(

t

)

,

y

=

y

(

t

)

{\displaystyle x=x(t),y=y(t)}

Ejemplo

x

=

a

⋅

l

n

t

,

y

=

a

2

(

2

t

+

3

t

+

1

)

{\displaystyle x=a\cdot lnt,y={\frac {a}{2}}(2t+{\frac {3}{t+1}})}

paramétro : t.En coordenadas polares

ρ

=

f

(

ϕ

)

{\displaystyle \rho =f(\phi )}

...Ejemplo

ρ

=

a

⋅

ϕ

{\displaystyle \rho =a\cdot \phi }

.