β
{\ displaystyle β}
είναι μια σταθερά ανάλογα με
φ
{\ displaystyle \ varphi}
(όπου
φ
{\ displaystyle \ varphi}
είναι ο "χρυσός αριθμός"). Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της χρυσής σπείρας είναι ότι κάθε 90 ° το πλάτος του αυξάνεται (ή μειώνεται) ακριβώς
φ
{\ displaystyle \ varphi}
φορές.
Γενικοί τύποι λογαριθμικής σπείρας σε πολικές συντεταγμένες:
r
=
και
ε
β
θ
{\ displaystyle r = ae ^ {b \ theta}}
και
θ
=
1
β
ln
(
r
/
και
)
.
{\ displaystyle \ theta = {\ frac {1} {b}} \ ln (r / a),}
(όπου
ε
{\ displaystyle e}
- η βάση των φυσικών λογάριθμων) ισχύει επίσης για τη χρυσή σπείρα. Σε αυτήν την περίπτωση
θ
{\ displaystyle \ theta}
είναι σωστή γωνία
β
{\ displaystyle β}
είναι μια πραγματική σταθερά, ενώ
r
/
και
=
φ
{\ displaystyle r / a = \ varphi}
(όπου
φ
{\ displaystyle \ varphi}
είναι ο "χρυσός αριθμός"). Εξ ου και ο τύπος:
ε
β
θ
=
φ
.
{\ displaystyle e ^ {b \ theta} = \ varphi.}
αξία
β
{\ displaystyle β}
εκφράζεται με τον τύπο:
β
=
ln
φ
θ
.
{\ displaystyle b = {\ frac {\ ln {\ varphi}} {\ theta}}.}
αξία
β
{\ displaystyle β}
Μπορεί να είναι θετικό ή αρνητικό, ανάλογα με την κατεύθυνση που κατευθύνεται η σωστή γωνία
θ
.
{\ displaystyle \ theta.}
Απόλυτη τιμή
β
{\ displaystyle β}
είναι:
|
β
|
=
ln
φ
90
∘
=
0.005
3468
1
∘
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {90 ^ {\ circ}}} = {\ frac {0 {,} 0053468} {1 ^ {\ circ}}}}
για
θ
{\ displaystyle \ theta}
εκφράζεται σε βαθμούς ·
|
β
|
=
ln
φ
π
/
2
=
0,306
349
{\ displaystyle | b | = {\ frac {\ ln \ varphi} {\ pi / 2}} = 0 {,} 306349}
για
θ
{\ displaystyle \ theta}
εκφράζεται σε ακτίνια.
Πολλές σπείρες είναι γνωστό ότι είναι προσεγγίσεις της χρυσής σπείρας και συχνά συγχέονται με αυτήν. Ένα παράδειγμα θα ήταν η σπείρα Fibonacci, η οποία δεν είναι λογαριθμική σπείρα.
