Гранично условие на Дирихле - вид гранично условие, известно още като първото условие, използвано в теорията на обикновените или частичните диференциални уравнения. Той се основава на предположението, че функцията, която е решение на даден проблем, трябва да приема конкретни, предварително определени стойности в края на домейна. Името идва от математика П. Дирихлет (1805–1859). Ако зададем гранично условие на Дирихле (по целия ръб) за диференциално уравнение (обикновено или частично), тогава говорим за проблем на Дирихлет (проблем). == Примери == === Обикновени диференциални уравнения === За обикновени диференциални уравнения от втори ред: y ″ = f (x, y, y ′), {\ displaystyle y '' = f (x, y, y '),} където неизвестната функция y (x) {\ displaystyle y (x)} е посочена в полето [a, b], {\ displaystyle [a, \, b],} (формално: y ∈ C 2 ([a, b]) {\ displaystyle y \ в C ^ {2} ([a, \, b])}), граничното условие на Дирихле е y (a) = ya, y (b) = yb, {\ displaystyle y ( a) = y_ {a}, \ y (b) = y_ {b},} където ya {\ displaystyle y_ {a}} и yb {\ displaystyle y_ {b}} са дадени числа. === Частични диференциални уравнения === Типичен пример е задачата на Дирихле за уравнението на Лаплас. Посочена е площта Ω ⊂ R n. {\ displaystyle \ Omega \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}.} Търсим решение на: Ω ¯ → R, {\ displaystyle u: {\ bar {\ Omega}} \ до \ mathbb {R}, което е непрекъснат в затваряне Ω ¯, {\ displaystyle {\ bar {\ Omega}},} клас C 2 {\ displaystyle C ^ {2}} в Ω, {\ displaystyle \ Omega,} удовлетворява уравнението Δ u = 0, { \ displaystyle \ Delta u = 0,} където Δ {\ displaystyle \ Delta} означава оператора Лаплас (laplsjan) и граничното условие u (x) = f (x) ∀ x ∈ ∂ Ω, {\ displaystyle u (x) = f (x) \ quad \ forall x \ в \ частично \ Omega,} където f {\ displaystyle f} е дадена функция, определена на ръба, f: ∂ Ω → R. {\ displaystyle f: \ частично \ Omega \ до \ mathbb {R}.} Обикновено и двете отношения (уравнение и гранично условие) са написани на стандартно математическо обозначение на едно място, като често се добавят скоби, за да се подчертае, че и двете връзки трябва да бъдат изпълнени : {Δ u = 0 на Ω, u = fw ∂ Ω. {\ displaystyle {\ начало {случаи} \ Delta...
