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In matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi. Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: primitivo perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; intuitivo perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali (tendenzialmente omogenei); questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana. Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto a un elemento dell'insieme A, si dice che a appartiene ad A o in simboli a ∈ A {\displaystyle a\in A} . Un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B quando tutti gli elementi di A appartengono anche a B. Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà: Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo (come accade invece per gli insiemi sfocati); Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme (mentre può comparire più volte in un multiinsieme); Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione (come invece accade alle componenti di un vettore o di una ennupla); Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.Gli insiemi, con le loro operazioni e relazioni, possono essere rappresentati graficamente con i diagrammi di Eulero-Venn.
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