Curva - puzzle online

In matematica, una curva è un oggetto unidimensionale e continuo, come ad esempio la circonferenza e la retta. Una curva può giacere su un piano, nello spazio euclideo, o in uno spazio topologico più generale.

Una curva può essere pensata intuitivamente come la traiettoria descritta da un oggetto (puntiforme) che si muove con continuità in qualche spazio ; non dovrebbe sorprendere quindi il fatto che per "catturare" nel linguaggio matematico quest' idea si faccia ricorso alle nozioni di funzione continua e funzione differenziabile.

Definizioni

In topologia, una curva è una funzione continua

f

:

I

→

X

{\displaystyle f:I\rightarrow X}

dove

I

{\displaystyle I}

è un intervallo della retta reale e

X

{\displaystyle X}

è un qualsiasi spazio topologico.

Ad esempio,

X

{\displaystyle X}

può essere il piano cartesiano

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

o lo spazio

R

3

{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}

. L'intervallo

I

{\displaystyle I}

può essere ad esempio un intervallo chiuso

[

a

,

b

]

{\displaystyle [a,b]}

, un intervallo aperto

(

a

,

b

)

{\displaystyle (a,b)}

, una semiretta

[

a

,

+

∞

)

{\displaystyle [a,+\infty )}

, ecc.

Sostegno della curva

L' immagine di una curva viene anche chiamato sostegno della curva. Spesso con un piccolo abuso di linguaggio si indica con la parola "curva" il sostegno e non la funzione. Ad esempio, la circonferenza è il sostegno della curva

f

:

[

0

,

1

]

→

R

2

{\displaystyle f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}

f

(

t

)

=

e

2

π

i

t

=

(

cos

⁡

(

2

π

t

)

,

sin

⁡

(

2

π

t

)

)

{\displaystyle f(t)=e^{2\pi it}=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))}

In topologia, quando l'intervallo di partenza

I

{\displaystyle I}

è quello unitario

[

0

,

1

]

{\displaystyle [0,1]}

si usa spesso uno dei termini equivalenti cammino o arco.

Curva semplice e curva chiusa

Una curva iniettiva è detta curva semplice o arco di Jordan.