La notion générale de courbe se décline en plusieurs objets mathématiques ayant des définitions assez proches : arcs paramétrés, lignes de niveau, sous-variétés de dimension 1. Schématiquement, ces différents modes d'introduction donnent des éclairages complémentaires sur la notion générale de courbe :
une courbe peut être décrite par un point qui se meut suivant une loi déterminée. La donnée d'une valeur du paramètre temps permet alors de repérer un point sur la courbe. Intuitivement, cela signifie que les courbes sont des objets de dimension 1 ;
une courbe peut être vue comme un domaine du plan ou de l' espace qui vérifie un nombre suffisant de conditions, lui conférant encore un caractère unidimensionnel.Ainsi, une courbe plane peut être représentée dans un repère cartésien par la donnée de lois décrivant abscisse et ordonnée en fonction du paramètre ( équation paramétrique) :
{
x
=
ξ
(
t
)
y
=
η
(
t
)
,
{\displaystyle {\begin{cases}x=\xi (t)\\y=\eta (t),\end{cases}}}
; dans le cas d'une courbe régulière, on peut déterminer alors un paramétrage adapté (pour lequel le vecteur vitesse est unitaire), l’abscisse curviligne, qui permet également de définir la longueur ; la courbe peut aussi être représentée par la donnée d'une équation cartésienne, ou implicite :
F
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle F(x,y)=0}
.
La géométrie différentielle a pour objectif d'associer aux courbes des objets mathématiques permettant de décrire le mouvement. Les plus intéressants sont ceux qui sont attachés à la courbe, indépendamment de la façon dont elle est parcourue : on définit notamment la longueur d'un arc de courbe, et les concepts de tangente à la courbe, de courbure.
On commence par définir la droite sécante entre deux points M et N de la courbe : c' est la droite qui les relie. La tangente en M peut alors être définie comme la position limite de la sécante lorsque le point N tend vers M.
La tangente en M est également la droite « la plus proche possible » de la courbe au voisinage de M. C' est ce qui explique la proximité entre la notion géométrique de tangente à une courbe, et de dérivée d'une fonction, ou encore de développement limité à l'ordre 1 d'une fonction.
