suspensión - rompecabezas en línea

En la topología, la suspensión de un espacio topológico X se obtiene de forma intuitiva estirando X en un cilindro y luego colapsando ambas caras extremas en puntos. Uno ve a X como "suspendido" entre estos puntos finales.

El espacio SX a veces se denomina suspensión libre, no basada o libre de X, para distinguirlo de la suspensión reducida ΣX de un espacio puntiagudo que se describe a continuación.

La suspensión reducida se puede utilizar para construir un homomorfismo de grupos de homotopía, a los que se aplica el teorema de suspensión de Freudenthal. En la teoría de la homotopía, los fenómenos que se conservan en suspensión, en un sentido adecuado, conforman la teoría de la homotopía estable.

Definición y propiedades de suspensión

Dado un espacio topológico X, la suspensión de X se define como

        S

        X

        =

        (

        X

        ×

         yo

        )

          /

        ∼

    {\ displaystyle SX = (X \ times I) / \ sim}

  el espacio de cociente del producto de X con la unidad de intervalo I = [0, 1] módulo la relación de equivalencia

        ∼

    {\ displaystyle \ sim}

  generado por

        (

          X

            1

        ,

        0

        )

        ∼

        (

          X

            2

        ,

        0

        )

             y

        (

          X

            1

        ,

        1

        )

        ∼

        (

          X

            2

        ,

        1

        )

             para todos

          X

            1

        ,

          X

            2

        ∈

        X

        .

    {\ displaystyle (x_ {1}, 0) \ sim (x_ {2}, 0) {\ mbox {y}} (x_ {1}, 1) \ sim (x_ {2}, 1) {\ mbox { para todos}} x_ {1}, x_ {2} \ en X.}

   Uno puede ver la suspensión como dos conos en X pegados juntos en su base ; También es homeomorfo a la unión.

        X

        ⋆

          S

            0

        ,

    {\ displaystyle X \ star S ^ {0},}

   dónde

          S

            0

    {\ displaystyle S ^ {0}}

    Es un espacio discreto con dos puntos.

En términos generales, S aumenta la dimensión de un espacio en uno : lleva una n- esfera a una esfera (n + 1) para n ≥ 0.

Dado un mapa continuo

        F

        :

        X

        →

        Y

        ,

    {\ displaystyle f: X \ rightarrow Y,}

   hay un mapa continuo

        S

        F

        :

        S

        X

        →

        S

        Y

    {\ displaystyle Sf: SX \ rightarrow SY}

   definido por

        S

        F

        (

        El

        X

        ,

        t

        ]

        )

        : =

        El

        F

        (

        X

        )

        ,

        t

        ]

        ,

    {\ displaystyle Sf ([x, t]): = [f (x), t],}

   donde los corchetes denotan clases de equivalencia. Esto hace

        S

    {\ displaystyle S}

   en un functor de la categoría de espacios topológicos a sí mismo.