Kurve - Online-Puzzles

In der Mathematik ist eine Kurve (von lat. curvus „gebogen, gekrümmt“) ein eindimensionales Objekt.

Eindimensional bedeutet dabei informell, dass man sich auf der Kurve nur in einer Richtung (bzw. der Gegenrichtung) bewegen kann. Ob die Kurve in der zweidimensionalen Ebene liegt („ ebene Kurve“) oder in einem höherdimensionalen Raum (siehe Raumkurve), ist in diesem begrifflichen Zusammenhang unerheblich.

Je nach Teilgebiet der Mathematik gibt es unterschiedliche Präzisierungen dieser Beschreibung.

Parameterdarstellungen

Eine Kurve kann als das Bild eines Weges definiert werden. Ein Weg ist ( abweichend von der Umgangssprache) eine stetige Abbildung von einem Intervall in den betrachteten Raum, also z. B. in die euklidische Ebene

R

2

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

.

Beispiele:

Die Abbildung

[

0

,

2

π

[

→

R

2

,

t

↦

(

cos

⁡

t

,

sin

⁡

t

)

{\displaystyle [0,2\pi [\to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto (\cos t,\sin t)}

beschreibt den Einheitskreis in der Ebene.Die Abbildung

R

→

R

2

,

t

↦

(

t

2

−

1

,

t

(

t

2

−

1

)

)

{\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\quad t\mapsto {\big (}t^{2}-1,t(t^{2}-1){\big )}}

beschreibt eine Kurve mit einem einfachen Doppelpunkt bei

(

0

,

0

)

{\displaystyle (0,0)}

, entsprechend den Parameterwerten

t

=

1

{\displaystyle t=1}

und

t

=

−

1

{\displaystyle t=-1}

.Gelegentlich, insbesondere bei historischen Bezeichnungen, wird zwischen Weg und Kurve nicht unterschieden.